基尔霍夫电流定律
Kirchhoff’s Current Law
基尔霍夫电流定律 (KCL) 是基尔霍夫的第一定律,涉及进入与离开节点junction
的电荷守恒。
要确定电路中电流的大小,我们需要使用一些定律或规则,将这些电流写成方程形式。用于网络方程的就是基尔霍夫定律,由于我们关注的是电路电流,所以这里使用基尔霍夫电流定律 (KCL)。
古斯塔夫·基尔霍夫的电流定律是电路分析的基本定律之一。该定律指出,对于并联路径,流入电路节点的总电流恰好等于流出同一节点的总电流,因为电荷无处可失,不会丢失。
换言之,所有流入与流出节点电流的代数和必须等于零:
基尔霍夫的这一思想通常称为“电荷守恒”,因为电流在节点处得到保留,没有损失。下面让我们看一个将基尔霍夫电流定律应用于单一节点的简单例子。
单一节点示例
A Single Junction
在这个简单的单一节点例子中,流出节点的电流 I_T 等于两个流入节点的电流 I_1 和 I_2 的代数和:
也可以写成代数和形式:
如果 I_1 = 3\,\mathrm{A} 且 I_2 = 2\,\mathrm{A},那么流出节点的总电流就是
该基本定律可用于任意多个节点,因为流入和流出节点的电流总和始终相等。
此外,如果我们将电流方向反向,上述方程仍然成立:
因此,我们可以将流入节点的电流视为正值 (+),而将流出节点的电流视为负值 (–)。不管电流方向如何,流入或流出的电流代数和始终等于零,这就是基尔霍夫节点定律,通常称为基尔霍夫电流定律 (KCL)。
并联电阻
Resistors in Parallel
下面我们来看如何将基尔霍夫电流定律应用到并联电阻电路中,无论各分支电阻是否相等。请考虑下列电路图:
在这个简单的并联电阻示例中,有两个不同的电流节点。第一个节点出现在节点 B,第二个节点出现在节点 E。因此,我们可以对这两个不同节点处流入和流出电流,应用基尔霍夫的节点定律。
首先,所有电流 I_T 从 24 伏电源流出,到达 A 点,然后由此进入节点 B。节点 B 是一个分岔点,因为电流现在可以分成两条不同的路径:一部分电流向下通过电阻 R_1,其余电流通过节点 C 经由电阻 R_2 继续流动。注意,流入和流出节点的电流通常称为“支路电流”。
我们可以使用欧姆定律来确定每个电阻上的各支路电流,即:
因此:
对于从 B 到 E 通过电阻 R_1 的电流支路
对于通过电阻 R_2 从 C 到 D 的支路电流
由上可知,基尔霍夫电流定律指出,流入某一节点的电流总和必须等于流出该节点的电流总和。在上述简单示例中,流入节点 B 的电流为 I_T,流出该节点的电流为 I_1 和 I_2 两部分。
由于计算得出从节点 B 流出的电流为
因此流入节点 B 的电流总和为
在本例中,节点 B 和节点 E 是两个不同的分岔点,当两条支路电流在节点 E 重新汇合时,我们可以确认 I_T 的值。要使基尔霍夫节点定律成立,流入点 F 的电流总和必须等于从节点 E 流出的电流总和。
由于流入节点 E 的电流分别为 3 A 和 2 A,流入点 F 的电流总和为
即
与从点 A 流出的电流相同,因此基尔霍夫电流定律成立。
将 KCL 应用于更复杂电路时,我们仍然使用“某一节点处所有流入电流的代数和为零”的思想,关键在于区分流入节点与流出节点的电流。请参见下图电路。
基尔霍夫电流定律示例1
在这个示例中,在节点 A、C、E 和 F 处共有四个不同的电流分流或合流节点。电源电流 I_T 在节点 A 处分为两路,分别流经电阻 R₁ 和 R₂,随后在节点 C 重新汇合,再次通过电阻 R₃、R₄ 和 R₅ 分流,最后在节点 F 再次汇合。
但在计算每条电阻支路上的电流之前,我们必须先计算电路的总电流 I_T。欧姆定律指出:
由于已知电压 V = 132,伏,因此需要按如下方式计算电路电阻。
电路电阻 R_{AC}
Circuit Resistance R_{AC}
电路电阻 R_{CF}
因此,节点 C 与 F 之间的等效电路电阻计算为 10\ \Omega。然后,总电路电流 (I_T) 表示为:
给出一个等效电路:
基尔霍夫电流定律等效电路
Kirchhoff’s Current Law Equivalent Circuit
因此,V = 132\,\mathrm{V}、R_{AC} = 1\,\Omega、R_{CF} = 10\,\Omega,且 I_T = 12\,\mathrm{A}。
在已确定等效并联电阻和电源电流之后,我们现在可以计算各支路电流,并按以下方式使用基尔霍夫节点定律进行验证。
因此, I_1 = 5\ \mathrm{A}、I_2 = 7\ \mathrm{A}、I_3 = 2\ \mathrm{A}、I_4 = 6\ \mathrm{A}、I_5 = 4\ \mathrm{A}。
我们可以以节点 C 为参考点,计算流入和流出该节点的电流,以验证基尔霍夫电流定律在该电路中成立,如下:
我们还可以双重检验基尔霍夫电流定律是否成立:将流入节点的电流记为正,流出节点的电流记为负,则代数和为
即
因此,通过分析我们可以确认基尔霍夫电流定律(KCL)——“在电路网络的任一节点处,所有电流的代数和恒为零”——在本例中完全正确。
基尔霍夫电流定律示例2
仅使用基尔霍夫电流定律求解下列电路中的电流。
I_T 是由 12\,\mathrm{V} 电源电压驱动的整个电路中的总电流。在 A 点,I_1 = I_T,因此在电阻 R_1 上会出现 I_1R_1 的电压降。
该电路有 2 条支路、3 个节点(B、C 和 D)和 2 个独立回路,因此两个回路中的 IR 电压降为:
回路 ABC:
回路 ABD:
由于基尔霍夫电流定律指出在节点 B 处
因此我们可以将上述两个回路方程中的 I_1 用 (I_2 + I_3) 代替,然后进行简化。
基尔霍夫回路方程
现在我们得到了两个与电路中电流流动相关的联立方程:
方程 1:
方程 2:
通过将第一个方程(回路 ABC)乘以 4 并将回路 ABD 方程从回路 ABC 方程中相减,可以化简这两个方程以求出 I_2 和 I_3 的值:
方程 1(×4):
方程 2(×1):
方程 1 – 方程 2:
由此得:
接着,用同样的方法求解 I_3:将第一个方程(回路 ABC)乘以 4,将第二个方程(回路 ABD)乘以 10,再相减:
方程 1(×4):
方程 2(×10):
方程 2 – 方程 1:
由此得:
根据基尔霍夫节点定律:
流经电阻 R_1 的总电流为:
因此:
有了这些数值,我们便可计算电路中各元件及各节点处的电压降。
本例题二的电路本可仅用欧姆定律简单求解,但我们这里使用基尔霍夫电流定律,以展示在无法直接应用欧姆定律时,如何利用 KCL 求解更复杂的电路。
附录
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