张彤
张彤
Published on 2025-09-06 / 3 Visits
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13.基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律

Kirchhoff’s Current Law

基尔霍夫电流定律 (KCL) 是基尔霍夫的第一定律,涉及进入与离开节点junction电荷守恒

要确定电路中电流的大小,我们需要使用一些定律或规则,将这些电流写成方程形式。用于网络方程的就是基尔霍夫定律,由于我们关注的是电路电流,所以这里使用基尔霍夫电流定律 (KCL)。

古斯塔夫·基尔霍夫的电流定律是电路分析的基本定律之一。该定律指出,对于并联路径,流入电路节点的总电流恰好等于流出同一节点的总电流,因为电荷无处可失,不会丢失。

换言之,所有流入与流出节点电流的代数和必须等于零:

\sum I_{\mathrm{IN}} \;=\;\sum I_{\mathrm{OUT}}\,.


基尔霍夫的这一思想通常称为“电荷守恒”,因为电流在节点处得到保留,没有损失。下面让我们看一个将基尔霍夫电流定律应用于单一节点的简单例子。

单一节点示例

A Single Junction

在这个简单的单一节点例子中,流出节点的电流 I_T 等于两个流入节点的电流 I_1I_2 的代数和:

I_T = I_1 + I_2\,.


也可以写成代数和形式:

I_T - (I_1 + I_2) = 0\,.


如果 I_1 = 3\,\mathrm{A}I_2 = 2\,\mathrm{A},那么流出节点的总电流就是

I_T = 3 + 2 = 5\,\mathrm{A}\,,


该基本定律可用于任意多个节点,因为流入和流出节点的电流总和始终相等。

此外,如果我们将电流方向反向,上述方程仍然成立:

I_1 = I_T - I_2 = 5 - 2 = 3\ \mathrm{A},\quad I_2 = I_T - I_1 = 5 - 3 = 2\ \mathrm{A}.


因此,我们可以将流入节点的电流视为正值 (+),而将流出节点的电流视为负值 (–)。不管电流方向如何,流入或流出的电流代数和始终等于零,这就是基尔霍夫节点定律,通常称为基尔霍夫电流定律 (KCL)。

并联电阻

Resistors in Parallel

下面我们来看如何将基尔霍夫电流定律应用到并联电阻电路中,无论各分支电阻是否相等。请考虑下列电路图:

在这个简单的并联电阻示例中,有两个不同的电流节点。第一个节点出现在节点 B,第二个节点出现在节点 E。因此,我们可以对这两个不同节点处流入和流出电流,应用基尔霍夫的节点定律。

首先,所有电流 I_T 从 24 伏电源流出,到达 A 点,然后由此进入节点 B。节点 B 是一个分岔点,因为电流现在可以分成两条不同的路径:一部分电流向下通过电阻 R_1,其余电流通过节点 C 经由电阻 R_2 继续流动。注意,流入和流出节点的电流通常称为“支路电流”。

我们可以使用欧姆定律来确定每个电阻上的各支路电流,即:

I = \frac{V}{R}


因此:

对于从 B 到 E 通过电阻 R_1 的电流支路

I_{B\text{–}E} = I_{1} = \frac{V}{R_{1}} = \frac{24}{8} = 3\ \mathrm{A}


对于通过电阻 R_2 从 C 到 D 的支路电流

I_{C\text{–}D} = I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{24}{12} = 2\ \mathrm{A}


由上可知,基尔霍夫电流定律指出,流入某一节点的电流总和必须等于流出该节点的电流总和。在上述简单示例中,流入节点 B 的电流为 I_T,流出该节点的电流为 I_1I_2 两部分。

由于计算得出从节点 B 流出的电流为

I_1 = 3\ \mathrm{A},\quad I_2 = 2\ \mathrm{A},


因此流入节点 B 的电流总和为

\Sigma I_{\mathrm{IN}} = I_T = 3 + 2 = 5\ \mathrm{A}.


在本例中,节点 B 和节点 E 是两个不同的分岔点,当两条支路电流在节点 E 重新汇合时,我们可以确认 I_T 的值。要使基尔霍夫节点定律成立,流入点 F 的电流总和必须等于从节点 E 流出的电流总和。

由于流入节点 E 的电流分别为 3 A 和 2 A,流入点 F 的电流总和为

3 + 2 = 5\ \mathrm{A},


\Sigma I_{\mathrm{IN}} = I_T = 5\ \mathrm{A},


与从点 A 流出的电流相同,因此基尔霍夫电流定律成立。

将 KCL 应用于更复杂电路时,我们仍然使用“某一节点处所有流入电流的代数和为零”的思想,关键在于区分流入节点与流出节点的电流。请参见下图电路。

基尔霍夫电流定律示例1

在这个示例中,在节点 A、C、E 和 F 处共有四个不同的电流分流或合流节点。电源电流 I_T 在节点 A 处分为两路,分别流经电阻 R₁ 和 R₂,随后在节点 C 重新汇合,再次通过电阻 R₃、R₄ 和 R₅ 分流,最后在节点 F 再次汇合。

但在计算每条电阻支路上的电流之前,我们必须先计算电路的总电流 I_T。欧姆定律指出:

I = \frac{V}{R}


由于已知电压 V = 132,伏,因此需要按如下方式计算电路电阻。

电路电阻 R_{AC}

Circuit Resistance R_{AC}

\frac{1}{R_{(AC)}} \;=\; \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \;=\; \frac{1}{2.4} + \frac{1}{1.7}


\frac{1}{R_{(AC)}} = 1 \quad\therefore\quad R_{(AC)} = 1\,\Omega


电路电阻 R_{CF}

\frac{1}{R_{(CF)}} \;=\; \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{5}} \;=\; \frac{1}{60} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \\ \frac{1}{R_{(CF)}} = 0.1 \quad\therefore\quad R_{(CF)} = 10\,\Omega


因此,节点 C 与 F 之间的等效电路电阻计算为 10\ \Omega。然后,总电路电流 (I_T) 表示为:

R_T = R_{(AC)} + R_{(CF)} = 1 + 10 = 11\ \Omega \\ I_T = \frac{V}{R_T} = \frac{132}{11} = 12\ \mathrm{A}


给出一个等效电路:

基尔霍夫电流定律等效电路

Kirchhoff’s Current Law Equivalent Circuit

因此,V = 132\,\mathrm{V}、R_{AC} = 1\,\Omega、R_{CF} = 10\,\Omega,且 I_T = 12\,\mathrm{A}

在已确定等效并联电阻和电源电流之后,我们现在可以计算各支路电流,并按以下方式使用基尔霍夫节点定律进行验证。

V_{AC} = I_T \times R_{AC} = 12 \times 1 = 12\ \mathrm{V} \\ V_{CF} = I_T \times R_{CF} = 12 \times 10 = 120\ \mathrm{V} \\ I_1 = \frac{V_{AC}}{R_1} = \frac{12}{2.4} = 5\ \mathrm{A} \\ I_2 = \frac{V_{AC}}{R_2} = \frac{12}{1.7} = 7\ \mathrm{A} \\ I_3 = \frac{V_{CF}}{R_3} = \frac{120}{60} = 2\ \mathrm{A} \\ I_4 = \frac{V_{CF}}{R_4} = \frac{120}{20} = 6\ \mathrm{A} \\ I_5 = \frac{V_{CF}}{R_5} = \frac{120}{30} = 4\ \mathrm{A}


因此, I_1 = 5\ \mathrm{A}、I_2 = 7\ \mathrm{A}、I_3 = 2\ \mathrm{A}、I_4 = 6\ \mathrm{A}、I_5 = 4\ \mathrm{A}

我们可以以节点 C 为参考点,计算流入和流出该节点的电流,以验证基尔霍夫电流定律在该电路中成立,如下:

\sum I_{\mathrm{IN}} = \sum I_{\mathrm{OUT}} \\ I_T = I_1 + I_2 = I_3 + I_4 + I_5 \\ \therefore 12 = (5 + 7) = (2 + 6 + 4)


我们还可以双重检验基尔霍夫电流定律是否成立:将流入节点的电流记为正,流出节点的电流记为负,则代数和为

I_{1} + I_{2} - I_{3} - I_{4} - I_{5} = 0


5 + 7 - 2 - 6 - 4 = 0.


因此,通过分析我们可以确认基尔霍夫电流定律(KCL)——“在电路网络的任一节点处,所有电流的代数和恒为零”——在本例中完全正确。


基尔霍夫电流定律示例2

仅使用基尔霍夫电流定律求解下列电路中的电流。

I_T 是由 12\,\mathrm{V} 电源电压驱动的整个电路中的总电流。在 A 点,I_1 = I_T,因此在电阻 R_1 上会出现 I_1R_1 的电压降。

该电路有 2 条支路、3 个节点(B、C 和 D)和 2 个独立回路,因此两个回路中的 IR 电压降为:

回路 ABC:

12 = 4I_1 + 6I_2


回路 ABD:

12 = 4I_1 + 12I_3


由于基尔霍夫电流定律指出在节点 B 处

I_1 = I_2 + I_3


因此我们可以将上述两个回路方程中的 I_1 用 (I_2 + I_3) 代替,然后进行简化。

基尔霍夫回路方程

12 = 4I_{1} + 6I_{2} ,12 = 4I_{1} + 12I_{3} \\ 12 = 4\bigl(I_{2} + I_{3}\bigr) + 6I_{2}, 12 = 4\bigl(I_{2} + I_{3}\bigr) + 12I_{3} \\ 12 = 4I_{2} + 4I_{3} + 6I_{2}, 12 = 4I_{2} + 4I_{3} + 12I_{3} \\ 12 = 10I_{2} + 4I_{3}, 12 = 4I_{2} + 16I_{3}


现在我们得到了两个与电路中电流流动相关的联立方程:

方程 1:

12 = 10I_2 + 4I_3


方程 2:

12 = 4I_2 + 16I_3


通过将第一个方程(回路 ABC)乘以 4 并将回路 ABD 方程从回路 ABC 方程中相减,可以化简这两个方程以求出 I_2I_3 的值:

方程 1(×4):

12 = 10I_2 + 4I_3 \quad\Longrightarrow\quad 48 = 40I_2 + 16I_3


方程 2(×1):

12 = 4I_2 + 16I_3 \quad\Longrightarrow\quad 12 = 4I_2 + 16I_3


方程 1 – 方程 2:

48 - 12 = (40I_2 + 16I_3) - (4I_2 + 16I_3) \quad\Longrightarrow\quad 36 = 36I_2


由此得:

I_2 = 1.0\ \mathrm{A}


接着,用同样的方法求解 I_3:将第一个方程(回路 ABC)乘以 4,将第二个方程(回路 ABD)乘以 10,再相减:

方程 1(×4):

12 = 10I_2 + 4I_3 \quad\Longrightarrow\quad 48 = 40I_2 + 16I_3


方程 2(×10):

12 = 4I_2 + 16I_3 \quad\Longrightarrow\quad 120 = 40I_2 + 160I_3


方程 2 – 方程 1:

120 - 48 = (40I_2 + 160I_3) - (40I_2 + 16I_3) \quad\Longrightarrow\quad 72 = 144I_3


由此得:

I_3 = 0.5\ \mathrm{A}


根据基尔霍夫节点定律:

I_1 = I_2 + I_3


流经电阻 R_1 的总电流为:

I_1 = 1.0 + 0.5 = 1.5\ \mathrm{A}


因此:

I_1 = I_T = 1.5\ \mathrm{A},\quad I_2 = 1.0\ \mathrm{A},\quad I_3 = 0.5\ \mathrm{A}.


有了这些数值,我们便可计算电路中各元件及各节点处的电压降。

本例题二的电路本可仅用欧姆定律简单求解,但我们这里使用基尔霍夫电流定律,以展示在无法直接应用欧姆定律时,如何利用 KCL 求解更复杂的电路。

附录

单词表

English

中文

Kirchhoff’s Current Law (KCL)

基尔霍夫电流定律

junction

节点

node

节点

current

电流

resistor

电阻

parallel

并联

branch

支路

supply

电源

voltage

电压

drop

电压降

Ohm’s Law

欧姆定律

loop

回路

equation

方程

sum

总和/和

algebraic sum

代数和

entering

流入

leaving

流出

total

equivalent

等效

resistance

电阻

independent

独立

simultaneous equations

联立方程

substitute

代入

simplify

化简

multiply

相乘

subtract

相减

example

示例

confirm

验证

analyze / analysis

分析

correct

正确

true

正确

amperes (A)

安培 (A)

Loop ABC

回路 ABC

Loop ABD

回路 ABD

声明

本文翻译自 electronics-tutorials

本文仅供学习,禁止用于任何的商业用途。


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